2021 창의수학페스티벌

2021 창의수학 페스티벌 - 재미있는 수학 모다? 베다! 키링 만들기

성림 초등학교 고준

 

 

 

 

 

 

 

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유투브와 줌으로 진행된 2021 창의 수학 체험교실입니다. 인도의 경전인 베다에서 유래한 베다 방진으로 인도 수학을 소개하고 곱셈표에서 수규칙을 찾아서 도형에 적용하는 원리였습니다.

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구구단표에서 9로 나눈 나머지를 적어 넣습니다. 9일 경우는 9를 그대로 적어 넣습니다. 제가 찾은 규칙은 각 자리수를 그대로 더하는 것이었습니다. 예를들어 8×7=56 5+6=11 1+1=2 이렇게요. 그리고 도형을 그릴때는 구구단을 선택한 다음에  출발점 부터 나머지 만큼 직선을 그려서 출발점으로 되돌아 오는 것입니다. 순서는 →,↓,←,↑ 시계방향입니다. 모든 구구단이 4번이 반복되면 제자리로 오더라구요. 그리고 1,8단 / 2,7단 / 3,6단 / 4,5 단이 선대칭 도형이 나와요. 보시면 베다 방진 표의 숫자들도 대각선으로 선 대칭 이랍니다^^

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완성한 슈링클스로 만든 베다키링이에요. 오븐에 구워야 하는데 저희 집은 오븐이 없어서 일단 그대로 두었답니다. 나중에 오븐에 구워 볼게요^^

 

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고대 인도 수학

인더스 계곡 문명

남아시아에서 가장 오래된 문명의 중심지는 모헨조다로와 하라파의 고대도시국가들(현재 파키스탄 지역)을 둘러싸고 있는 인더스 계곡이었다. 하라파 문명이라고도 불리는 이 문명은 기원전 2600~1900년경, 두 개 이상의 도시국가들이 인더스 강의 계곡을 따라 번영했다. 또 수천 개의 소규모 정착촌들과 함께 서부 유럽 면적과 고대 메소포타미아나 이집트 면적의 두 배에 달하는 청동기시대 문명을 형성했다. 하라파와 모헨조다로는 인구가 8만 명 이상 되는 거대 도시 국가들로, 중앙아시아에서 메소포타미아 및 아라비아에 이르는 광범위한 무역망을 가지고 있었다.

인더스 강 계곡에서 한때 주요 인구 중심지였던 하라파의 폐허

기록 문서 및 언어를 포함하여 여러 가지가 수수께끼로 남아 있지만, 인더스 계곡 문명의 유적지에서 발굴된 가장 눈에 띄는 것들 중에는 크기순으로 나열한 작은 돌 주사위들이 있다. 이들 주사위는 표준화된 추로서, 고가의 물품 거래를 규제하기 위해 사용된 것으로 여겨진다. 정밀하게 눈금을 매겨놓은 추는 고도의 과학기술적 소양 및 측정술을 보여준다.

추의 무게를 살펴보면, 인더스 계곡 문명이 최소한 무게에 대해서는 2진법적 셈 체계를 사용했음을 알 수 있다. 가장 작은 추의 무게(1g 이하)를 1단위라 할 때, 다른 추의 무게는 보통 2, 4, 6, 8, 16, 32, 64, 120이다. 가장 큰 추는 무게가 16인 추의 100배(약 140g)가 되는 것으로서 10진법 셈 체계를 사용했다. 인더스 계곡 문명은 실제적인 적용의 상황일지라도 분명히 비율이나 2진법, 제곱의 개념을 설명할 수 있었던 것으로 여겨진다.

인도 서부에 있는 인더스 계곡 문명기의 지방 도시 로탈의 유적지에서 발굴된 자를 통해 고대 인도인들이 길이를 측정하는 데 10진법 셈 체계를 사용했다는 것을 알 수 있다. 자에는 27개의 가는 눈금이 표시되어 있고, 각 눈금은 평균 1.7mm 간격으로 그어져 있다. 이들 눈금은 실처럼 가는 물체는 물론, 문명의 여러 도시들을 건설하는 데 쓰인 벽돌 같은 큰 물체의 크기를 표준화하는 데 사용되었다.

제단과 무한

인더스 계곡 문명은 기원전 1900년경 기후변화로 붕괴되었고, 그다음으로 남아시아에서 거대한 문명이 형성된 시기는 기원전 1500년에서 기원전 500년까지 지속된 베다 시대였다. 이 시기에 인도 수학은 자신들만의 독특한 몇 가지 특성을 갖추었으며 베다 종교 특유의 불의 제단(fire altars)을 건축하는 데 도움이 될 기하학적 원리들을 연구했다.

베다와 그 후에 생긴 불교 철학은 시간과 공간의 무한의 특성을 강조한 까닭에, 인도 수학은 무한(infinity)의 개념을 받아들이는 데 거부감이 없었다. 점점 커지는 수들을 표현하기 위한 방법들을 연구해 기원전 1000년경 초기 베다 시기의 만트라는 10의 거듭제곱으로 1조까지 표현했을 뿐만 아니라 덧셈 및 곱셈에서부터 분수, 제곱, 제곱근, 세제곱에 이르는 산술 계산 규칙을 만들기도 했다.

4세기경, 산스크리트어로 된 한 문서에는 부처가 1053까지 셌다고 기록되어 있는 반면, 다른 문서에서는 우주에 있는 원자들의 개수보다 많은 10의 수백 제곱인 10421까지의 수들을 써놓았다. 우주에 있는 원자들의 수는 대략 (1080-1)개로 추정된다. 같은 문서에서 물질의 매우 작은 단위들의 크기를(초기 원자 이론에서) 눈금을 연속적으로 점점 작게 나타내어, 가장 작은 단위의 크기가 1미터의 약 70조분의 1이라는 결론에 도달했다. 이것은 실제로 탄소 원자 하나의 크기와 매우 가깝다.

고대 자이나교의 교리는 무한의 서로 다른 유형들을 구별한 반면, 고대 불교 교리는 수를 셀 수 있다(countable), 셀 수 없다(uncountable), 무한하다(infinite)로 분류하고, 

과 같이 정의되지 못하는 불확정 수(indeterminate numbers)와 같은 후기 수학적 개념들을 간단히 예로 제시하기도 했다.

뒷부분에 불교 사리탑이 있는 모헨조다로의 성채

고대 인도인들은 기하학에서도 상당히 진전되어 있었다. 술바 수트라스(Shulba Sutras)로 알려진 베다 시대의 문서들은 기원전 8세기경에 만들어졌으며, 피타고라스의 정리를 증명하고, 피타고라스 세 쌍을 목록으로 만들었다. 이 문서에 대해 피타고라스가 알고 있었을 것이라는 설도 있다.

술바 수트라스는 또한 ax+by+c=0과 같은 지수가 1보다 크지 않은 간단한 일차방정식과 ax2+by+c=0과 같이 적어도 한 개의 미지수가 2차인 이차방정식의 해법을 보여주고 있다. 게다가 수트라스는 여러 분수의 합인 

을 계산하여 매우 정확하게 2의 제곱근 값을 계산하는 방법을 보여주고 있으며, √2의 값을 1.41421356으로 제시하고 있다. 이것은 실제의 값 1.4142356······에 대하여 소수점 아래 네 번째 자리의 값까지 정확히 일치한다.

[네이버 지식백과] 고대 인도 수학 (사진으로 이해하는 수학의 모든 것, 2016. 2. 5., 조엘 레비, 오혜정)

고대 인도 수학 (naver.com)

고대 인도 수학

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